第二章线性方程组与矩阵的初等变换

矩阵的初等变换与初等矩阵

若矩阵A经过有限次初等列变换化为矩阵B，则称矩阵A与B列等价，并不能说矩阵A与矩阵B相等，两个矩阵相等必须得每个元素都一样。

矩阵的等价关系具有以下基本性质：

任何非零矩阵通过有限次初等行变换变成行阶梯矩阵，又通过有限次初等行变换变成行最简形矩阵最后经过有限次初等列变换变成标准形矩阵这时候又可以通过有限次初等变换变回非零矩阵

所有过程皆可逆

标准形矩阵：左上角的部分为单位阵，其他部分为零

由单位阵经过一次初等变换而得的矩阵称为初等矩阵。

变化重点
1，E(i,j),即由单位矩阵交换第一i,j行（或列）而得的矩阵
2，E(i(k)),即由单位矩阵的第i行（或列）乘以非零常数k而得的矩阵
3，E（j，i(k)），既由常数k乘以单位矩阵的第i行（或j列）元素后加到第j行（或i列）相应的元素上得到的矩阵

考点

1.对矩阵A施行某种行变换得到的矩阵，等于用同种类型的m阶初等矩阵左乘A;
2.对矩阵A施行某种列变换得到的矩阵，等于用同种类型的n阶初等矩阵右乘A；

注意：初等矩阵可逆，其逆矩阵也为同种类型的初等矩阵

必备：[E(i.j)]^-1 =E(i.j)
[E(i(k))]^-1 =E(i*(1/k))

定理
1，n阶方阵A为可逆矩阵的充要条件是A可以表示成若干个初等矩阵的乘积
2，若A可逆，则A的行最简形为单位矩阵I

对于一般形式的矩阵方程，可以通过矩阵的有关运算转化为标准形式的矩阵方程，然后解之。

设A为可逆矩阵，则矩阵方程AX=B,X=A^-1 B
$$
A^-1*(A,B)=(I,A^-1*B)
$$

矩阵与求解